Rome-Jayden Owusu-Oduro kwam in 2014 binnen in de AZ Voetbalschool in de Regio. Een jaar later maakte hij van DVC Buiksloot de overstap naar de AZ Jeugdopleiding.
De sluitpost doorliep alle jeugdelftallen en maakte op 26 augustus 2022 zijn profdebuut bij Jong AZ in een uitwedstrijd tegen FC Eindhoven. In AZ’s UEFA Youth League-zege speelde Owusu-Oduro een belangrijke rol. In negen wedstrijden hield hij vijf keer de nul en daarnaast onderscheidde hij zich in de strafschoppenseries tegen Rode Ster Belgrado en Sporting CP.
In december 2022 maakte Owusu-Oduro in een oefenwedstrijd tegen Valencia CF zijn officieuze debuut bij AZ 1. Sinds de zomer van 2023 is de jeugdinternational officieel deel van de A-selectie. Op 14 december 2023 maakte Owusu-Oduro zijn officiële en Europese debuut in een uitduel met Legia Warschau. Kort daarop zouden ook zijn Eredivisie- en bekerdebuut volgen.
In het seizoen 2024-2025 werd hij geselecteerd als eerste doelman. In de halve finale van de TOTO KNVB Beker tegen Heracles Almelo groeide hij uit tot de held van de wedstrijd. Hij stopte tijdens de strafschoppenserie twee penalty’s en hielp hij AZ daarmee naar de finale.
